Чисельні методи уточнення коренів
нелінійних рівнянь та систем.
Нехай дане рівняння
f (x) = 0 (1)
де f (x) – алгебраїчна або трансцендентна функції з одним невідомим.
Сукупність значень змінної х, при яких рівняння перетворюється в тотожність називається розв’язком. Кожне значення х* з цієї сукупності називається коренем рівняння або нулем функції.
Як відомо, прості лінійні або квадратні рівняння можна легко розв’язати з допомогою відповідних формул. Алгебраїчні рівняння 3-ї та 4-ї степені також можна розв’язати аналітичними методами, хоча й відповідні формули дуже складні. Навіть вже в цих випадках чисельні методи мають незаперечні переваги. Не мають розв’язку в елементарних функціях рівняння типу
х6 + 4х5 – 5х4 + х3 + 3х2 – 9х +11 = 0.
Практичне використання чисельних методів розв’язування нелінійних рівнянь можна продемонструвати на такому прикладі.
Рівняння термопари описується, як правило, поліномом високих порядків.
Наприклад, для термопари Ni – Cr/Ni
t( = 25,4498U – 0,559195U 2 + 0,10452439 U 3 – 8,776153(10– 3 U 4 +3,76041∙10U– 8,64943(10– 6 U 6 + 1,021005(10– 7 U 7 – 4,891009(10– 10 U 8
де U – термо е.р.с., mV;
t( – температура (C.
Якщо ставиться задача – знайти значення термо е.р.с. при даній t( , то відповідь можна одержати розв’язавши рівняння
А (U ) – t( = 0.
Надалі будемо вважати, що рівняння (1) має лише ізольовані корені, тобто для кожного кореня існує проміжок, який не містить інших коренів рівняння.
Наближене обчислення ізольованих дійсних коренів рівняння (1) складається з двох етапів:
відокремлення коренів – знаходження проміжку, що належить області існування функцій f (x), на якому розміщений один і тільки один корінь.
уточнення наближених коренів, тобто обчислення їх із заданою похибкою. Є два методи відокремлення:
1. Графічний метод – а) будується графік у = f (x). Точки перетину графіка з віссю Ох дають значення кореня , і за графіком легко визначити два числа a i b, між котрими знаходиться один корінь (рис1.)
б) Всі члени рівняння розбивають на дві групи, одну з них записують в лівій частині рівняння, а другу – в правій , тобто . Після цього будують графік і . Абсциси точок перетину графіків цих двох функцій і є коренями даного рівняння. (х0 – корінь рівняння, рис.2).
Приклад. Відокремлення коренів рівняння х3 – 3х – 1 = 0.
у у
–3 –2 –1 0 1 2 3 х –3 –2 –1 0 1 2 3 х
g, φ
1
х
1
2. Аналітичний – базується на теоремі Больцано – Коші:
якщо на проміжку [a;b] функція неперервна і набуває на кінцях проміжку значень різних знаків, тобто f(a) ( f(b) < 0, то на [a;b] рівняння f (x) = 0 має хоча б один корінь. Цей корінь буде єдиним, якщо перша похідна f /(x) існує і зберігає сталий знак у середині проміжку [a;b] .
1) похідна міняє знак f(a) ( f(b) < 0, але існує 4-и корені, тобто ця умова гарантує існування розв’язку рівняння, але не дозволяє визначити число коренів.
y
x
a b
2) Крім цього важливе значення має вимога неперервності. Існує точка розриву, тому твердження теореми про наявність хоча б одного кореня – невірне.
y
a b x
Процес відокремлення коренів починається із встановлення знаків f (x) в граничних точках х = а і х = b в області її існування. Після цього визначаються знаки функції f (x) в ряді проміжних точок х = а1, а2, ... , вибір яких враховує особливості функції f (x). Якщо виявиться, що f (аk) > 0, f (ak+1) < 0, то через розглянуту вище теорему в інтервалі [аk, ak+1] існує корінь рівняння f (x) = 0. Потрібно переконатися, чи є цей корінь єдиним.
Необхідно пам’ятати, що алгебраїчне рівняння n-ї степені
а0хn + а1хn–1 +…+ а0 = 0
має не більше n дійсних коренів. Тому, якщо для такого рівняння ми одержимо (n + 1) зміну знаків, то всі корені його відокремленні.
При...
